III. DINÁMICA DE LA TRASLACIÓN

Lectura III.a Introducción a las Leyes de Newton. Se observa que sobre una mesa de aire, previamente nivelada, un disco, después de ser impulsado, conserva un movimiento con velocidad constante (en magnitud y dirección), hasta que choca (interacciona) con otro disco o con el alambre de la mesa.

En una colisión "instantánea" como se muestra en la foto estroboscópica (1), se puede observar la colisión de dos discos: uno de masa "m" y otro de masa "2m".

En el esquema 2, se han dibujado los vectores "cambio de velocidad" de ambos. Se observa que estos vectores son colineales y opuestos y que magnitudes de los Dv, están en razón inversa del valor de las masas.

De hecho, a través de medir los cambios de velocidad de dos objetos que chocan, puede determinarse la razón de sus masas.

Si se conociera el tiempo de duración del choque, se podría calcular el valor de las aceleraciones medias y multiplicadas por las masas respectivas nos darían valores iguales para las fuerzas medias ejercidas por cada uno de los discos sobre el otro.

O sea estaríamos ilustrando la tercera ley de Newton; si bien esta ley se refiere a fuerzas instantáneas.

Si ahora uno de los discos tuviera una masa mucho mayor que el otro (o bien, que estuviera pegado a la mesa de aire) entonces sólo se observarían cambios de velocidad en uno de ellos.

En realidad este es el problema que se planteó Newton para inferir como era la fuerza que el Sol ejerce sobre planetas y cometas. Para ilustrar mejor esto último, considera el siguiente dibujo (3), que corresponde a una simulación del movimiento de un cometa alrededor del Sol. Los puntos a lo largo de una elipse corresponden a las posiciones que va ocupando el cometa en tiempos iguales.

En el dibujo (4) se han construido los vectores cambio de velocidad en dos puntos de la trayectoria. Ambos apuntan hacia uno de los focos de la elipse, donde supuestamente se encuentra el Sol. Además en el punto que está al doble de distancia del "Sol", la magnitud del cambio de velocidad se reduce a la cuarta parte.

Consideremos ahora el movimiento circular uniforme de un "péndulo cónico como se muestra en la figura 3.a. De acuerdo a lo visto previamente, la "lenteja" del péndulo tiene una aceleración "centrípeta", pero no se observa que algo la jale hacia el centro de su trayectoria circular (como podría ser el caso del disco que es jalado por cuerda y que describe un MCU sobre una mesa de aire).

Lo que se observa es que la lenteja es jalada en la dirección del hilo y además consideramos que la Tierra la jala hacia abajo. La resultante de estas dos fuerzas, de acuerdo a la ley del paralelogramo, debe ser la fuerza centrípeta necesaria para mantener el MCU de la lenteja.

Fig. III.a La fuerza resultante está en la dirección del centro del círculo que describe el movimiento del péndulo.

Luego volveremos a analizar en forma cuantitativa este tipo de problemas, pero por lo pronto nos concentraremos en el caso particular de movimientos rectilíneos, tanto en dirección horizontal, vertical o inclinada.

En estos casos, la fuerza resultante sobre el objeto estará en la dirección del movimiento.

III. 1 MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON FUERZA NETA CONSTANTE.

META: Predecir y confrontar con el experimento valores de tensión y aceleración en movimientos rectilíneos de un sistema formado por dos objetos unidos por una cuerda que atraviesa una polea con fricción despreciable

Material: Carro de baja fricción, (PASCO), elástico, riel de aire, dinamómetro, pesas, ligas, balanza, plastilina, hilo de cáñamo. Introducción.

Ya se ha visto que en condiciones de fricción despreciable un objeto conserva su MRU "por si mismo" o sea, va en línea recta con velocidad constante.

También se ha inferido que las fuerza aplicadas a un objeto en la dirección del movimiento se equilibran o sea la fuerza neta es nula cuando el objeto conserva un MRU, por ejemplo, si al aplicar una fuerza constante a un bloque sobre la mesa, este mantiene un MRU entonces la fuerza aplicada se equilibra con la fuerza de fricción cinética sobre el objeto, como se vio anteriormente.

Ahora veremos, para el caso de movimiento rectilíneo, que al aplicar una fuerza no equilibrada a un objeto (en condiciones de fricción despreciable) éste se acelera o sea, aumenta o disminuye continuamente su velocidad.

Se define operacionalmente la unidad de fuerza (el newton), jalando un carrito de un kg de masa, a partir del reposo, con un dinamómetro que marque 1N, durante 1 segundo y observando que posteriormente el carrito, moviéndose libremente, recorre 1 metro en un segundo (en condiciones de fricción despreciable).

Se muestra que para que un objeto de doble masa (2m) se acelere igual que otro de masa m, se requiere aplicarle una fuerza del doble de magnitud, jalando simultáneamente dos carritos.

Definición operacional del newton (N), la unidad de fuerza del Sistema Internacional: Sujeta un dinamómetro a un carro de baja fricción con una masa de 1kg. (ver figura III.1). Ensaya a jalar el dinamómetro junto con el carro, manteniendo una fuerza de 1 N durante un segundo (s).

Notarás que durante este jalón el carro, partiendo del reposo, recorre una distancia aproximada de 0.5 metro (m). Enseguida el carro moviéndose libremente (suponiendo despreciable la fricción) recorre un metro en un segundo.

Esto significa que después de jalar con una fuerza de 1N al carro de 1kg de masa durante 1 s, adquiere una velocidad de 1 m/s. Por lo anterior se infiere que la aceleración del carro durante el jalón fue de 1 m / s2.

Fig. III.1. Un impulso de 1 Ns (jalar con la mano el dinamómetro unido al carrito durante 1 s con una fuerza de 1 N) sobre un objeto de 1 kg, inicialmente en reposo, le imprime a este una velocidad de 1 m/s (avanza 1 m durante el siguiente segundo).

III.1.a MEDICIÓN DE LA FUERZA DE TENSIÓN CONSTANTE. META.

Utilizar la segunda ley de Newton para predecir valores de la tensión del hilo que jala al deslizador y de la aceleración de éste y confrontar estos valores con los experimentales en diferentes arreglos. Actividad experimental.

Considerar el siguiente sistema formado por deslizador con dinamómetro, riel de aire, hilo, polea y pesa como se muestra en la figura III.1.a.

Cuando el deslizador cuya masa es de 0.30 kg, se detiene con la mano, observa que el dinamómetro marca 0.98 N (que corresponde a la tensión del hilo y al peso de pesa de 100g).

Se trata de predecir la lectura del dinamómetro cuando el deslizador sea liberado y el valor de la aceleración del mismo. Posteriormente confrontar los valores predichos para la tensión y la aceleración con valores medidos.

Fig. III.1.a. Se trata de predecir el valor de la aceleración y lo que marcaría el dinamómetro cuando se suelte el deslizador que inicialmente esta detenido con la mano.

En vez del dinamómetro se puede utilizar un trozo de medio metro de elástico de poliéster y calibrarlo para que funcione como dinamómetro.

Comentarios y Sugerencias: Al soltar el deslizador, el resorte del dinamómetro unido al deslizador, comenzará a oscilar y mientras se amortigua la oscilación el deslizador recorre la distancia disponible sobre el riel, mientras su velocidad aumenta.

Para reducir o eliminar este efecto transitorio y alcanzar el resultado "estacionario", o sea una lectura constante en el dinamómetro, se recomienda fijar con la mano la lectura esperada en el dinamómetro, de tal manera que al soltarlo, la lectura no varíe.

Para medir la aceleración que adquiere el deslizador, conviene desconectar el dinamómetro para evitar las oscilaciones.

Ahora variar la condición inicial, ayudándose con una liga imprimir al deslizador una velocidad inicial en sentido opuesto a la fuerza aplicada (ver figura).

¿Cómo esperas que sean los valores para la aceleración y para la tensión del hilo, comparados con el caso anterior?

III.1.b LA MÁQUINA DE ATWOOD.

META: Utilizar la segunda ley de Newton para obtener el valor de la aceleración de la gravedad, "g". Más adelante se considerará el momento de inercia de la polea y la torca de fricción en la polea para corregir el valor de "g" obtenido.

Fig. III.1.b. Se busca que la relación de masas sea tal que la aceleración sea alrededor de 1 m/s2 o sea que tarde mas de 1 segundo en recorrer 1 metro.

III.1.c MEDICIÓN DE LA FUERZA CONSTANTE REPETIR LA ACTIVIDAD III.1.a, PERO AHORA DANDO AL RIEL UNA CIERTA INCLINACIÓN.

META: Mostrar como los casos anteriores (a y b) se pueden ver como casos particulares del sistema "c".

Fig. III.1.c Una variante intermedia entre la actividad (a) y (b) es utilizando el plano inclinado. Los casos límites son precisamente los anteriores.

III.2 FUERZA DE FRICCIÓN CINÉTICA ("seca").

META: Determinar el valor del coeficiente de fricción cinético para superficies de diferente textura. Predecir el valor de la fuerza de fricción cinética para diferentes inclinaciones de la mesa sobre la cual se mueve un bloque.

Material: Bloques de madera, dinamómetro, regla, transportador.

Introducción. Como ya se ha dicho, parece que los cuerpos se detienen "por si mismos" después de ser impulsados sobre una superficie horizontal.

Sin embargo, cuando se reduce el rozamiento o fricción cinética, hasta hacerla despreciable, como en el caso del riel de aire o la mesa de aire o con carros de baja fricción en rieles planos, los objetos (deslizador y disco o carrito de baja fricción) mantienen su movimiento rectilíneo uniforme.

Por tanto, al igual que Galileo, ya no pensamos que los objetos se detienen "por si mismos" sino que requieren de la acción (fuerza) de otro cuerpo sobre él para que cambie su velocidad.

Actividad experimental:

a) Con ayuda de un dinamómetro, medir la fuerza que se requiere para jalar un bloque de madera sobre una tabla de madera, con velocidad constante. Esta fuerza debe estar equilibrada con la fuerza de fricción cinética, opuesta al sentido del movimiento, o sea, la fuerza neta debe ser cero.

b) Repetir lo anterior pero poniendo dos bloques encimados y después tres bloques encimados (de igual masa).

¿Se observa que la fuerza necesaria es aproximadamente doble y triple respecto al primer caso?

De ser así, el cociente que resulta de dividir la fuerza de fricción entre el peso del bloque se mantiene constante, dentro la incertidumbre experimental, y se denomina coeficiente de fricción cinético y suele abreviarse con la letra " c".

c) Otra forma de determinar el valor de c, sin usar dinamómetro, consiste en inclinar la tabla con el bloque encima, ir aumentando la inclinación y dando pequeños golpes al bloque, hasta lograr que el bloque se deslice con velocidad constante.

Llamaremos a este ángulo formado por la tabla con la horizontal, ángulo crítico. El valor de " c" corresponde al valor de la tangente del ángulo crítico, ¿Por qué?

Obtener el valor de " c", midiendo el valor de la tangente del ángulo crítico. Comparar este valor con el obtenido previamente, considerando la incertidumbre experimental.

d) Repetir los pasos anteriores pero ahora apoyando al bloque sobre una cara de menor área ¿se obtienen resultados similares?

e) Repetir los pasos anteriores pero apoyando el bloque en una cara de diferente textura.

f) Ahora viene lo bueno: Para ángulos diferentes al ángulo crítico predecir los valores de la fuerza con que hay que jalar al bloque para que suba o para que baje "lentamente" con velocidad con velocidad constante y confrontar con el experimento.

g) Para un ángulo "un poco" mayor que el ángulo crítico, dale un impulso al bloque para que alcance a ascender por la tabla.

Antes de hacerlo ¿cómo espera que sean los tiempos de ascenso y descenso? ¿Iguales? ¿O alguno mayor que el otro? Razona tu respuesta.

¿Corresponde lo esperado a lo observado?

h) Montar un dispositivo similar al de la actividad III.1.c, (bloque sobre plano inclinado, polea, dinamómetro, hilo y pesa, pero considerando ahora la fricción cinética.

Sugerencia: Usar el "riel de baja fricción riel plano con un carro de baja fricción", un bloque de madera sobre el carrito de baja fricción, de tal manera que según se asienten las ruedas del carrito o una cara del bloque, sobre el riel se hará o no se hará despreciable la fricción.

III.3 MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS CON FUERZA VARIABLE.

META: Obtener experimentalmente cómo depende una fuerza de la posición o de la velocidad y a través de método numérico, usando la segunda ley de Newton, predecir movimientos para condiciones iniciales dadas.

III.3.a Movimiento rectilíneo con fuerza variable, que es función de la posición.

Experimento demostrativo:

a) Montar dos osciladores (deslizador con dos resortes sobre riel de aire horizontal) idénticos y dejar que oscilen con la misma amplitud.

b) Dejar que oscilen en fase pero con diferentes amplitudes.

c) Inclinar uno de los rieles y dejar que oscilen en fase.

d) Con los dos rieles horizontales, aumentar la masa de uno de ellos y comparar los períodos de oscilación.

e) Con masas iguales, incrementar la constante de uno de los resortes "suprimiendo" un cierto número de espiras, y comparar los períodos de oscilación.

f) Inferir de lo anterior que el período es independiente de la amplitud y de una fuerza constante (que sólo cambia el punto de equilibrio) y que el período es una función de la constante de Hooke (k) y de la masa (m).

Hemos visto que el período del oscilador (sistema masa-resorte) depende tanto de la masa como de la constante de los resortes.

También vimos que el período del oscilador no cambia al variar la amplitud ni al inclinar el riel de aire, o sea que depende de la masa pero no del peso.

Por cierto ¿funcionaría en estado de impesantez? (dentro de una nave espacial con los motores apagados) .

g) A partir de la segunda ley de Newton y de la ley de la fuerza (ley de Hooke), se infiere que a = - (k/m) x. h).

Medir los valores de "m" y de "k" del sistema.

Mostrar que la "k" del sistema es igual a la suma de los valores de las constantes de cada resorte.

i) Usando método numérico, predecir el valor del período (lapso para el cual el deslizador recupera las condiciones iniciales).

Mostrar este valor como un límite cuando Dt, intervalo de integración, tiende a cero y confrontar con el valor experimental .

Lectura III.a Métodos Numéricos La dinámica del movimiento de un cuerpo de masa m que está sujeto a una fuerza F, está determinada por la segunda ley de Newton, que en una dimensión se expresa como:

F = ma (1)

donde a es la aceleración del cuerpo.

La ecuación (1) puede expresarse también de la siguiente forma:

FmDt = mDv = m(vf - vi) (2)

en donde Fm es el valor medio de la fuerza en el intervalo Dt, Dv es el cambio de velocidad del cuerpo en ese intervalo y vi y vf son las velocidades correspondientes al principio y al final del intervalo de tiempo.

La velocidad final vf se puede despejar en (2) en términos de la velocidad inicial y de la fuerza media aplicada, esto es:

vf = vi + (Fm/m)Dt (3)

Y por otra parte, para determinar la posición final xf del cuerpo al final del intervalo de tiempo a partir de su posición inicial xi, recurrimos a la definición de velocidad media vm, es decir:

vm = Dx/Dt = (xf - xi)/Dt (4)

en donde Dx es el desplazamiento del cuerpo durante el intervalo de tiempo y xi es la posición del cuerpo al principio del intervalo del tiempo.

La posición final del cuerpo xf se puede obtener de (4), de la siguiente manera:

xf = xi + vm Dt (5)

En principio de las expresiones (3) y (5) se pueden determinar los valores de xf y vf al final de un intervalo de tiempo Dt, a partir de los valores iniciales xi y vi y del conocimiento de la fuerza F que se aplica sobre el cuerpo.

Tomando los valores finales de la posición y la velocidad del cuerpo como iniciales y conociendo la fuerza en todo momento, se puede repetir el procedimiento para el siguiente intervalo de tiempo (igual al anterior) para obtener nuevos valores de la posición y de la velocidad del cuerpo, al final del nuevo intervalo de tiempo.

Es decir, si continuamos este procedimiento iterativamente durante diversos intervalos de tiempo iguales y consecutivos, es posible conocer la dinámica del movimiento desde el tiempo inicial y hasta un tiempo final en que consideremos que las características de la fuerza aplicada sobre el cuerpo han cambiado.

Para la exactitud de este método numérico de solución de la segunda ley de Newton, es necesario hacer algunos ajustes, que se ejemplificarán enseguida al aplicarlo al caso concreto del oscilador armónico simple.

El oscilador armónico simple (OAS). Cuando un cuerpo de masa m que se mueve horizontalmente en una dimensión, esta sujeto bajo la acción combinada de dos resortes de constante k/2 y que ejercen una fuerza neta del tipo:

F = -kx (6)

el movimiento resultante es un movimiento de tipo oscilatorio.

La dinámica de este movimiento queda establecida al resolver la segunda ley de Newton para este caso particular.

Esto, es, se trata de resolver la ecuación:

ma = -kx (7)

La solución exacta por métodos matemáticos analíticos es conocida, pero aquí se tratará de resolver con el método numérico que se describe (abajo) a continuación.

Método numérico para la solución del OAS. Aunque el siguiente método numérico se puede aplicar a cualquier cuerpo de masa m que se mueve en una dimensión, sujeto a una ley de fuerzas conocida y con condiciones iniciales establecidas, aquí se aplicará al caso particular del OAS.

Supongamos que queremos hacer el modelo de un experimento de laboratorio que consiste del siguiente sistema:

Experimento: Un deslizador de masa m = 0.30 kg se coloca sobre un riel de aire horizontal y se sujeta por sus extremos a los finales del riel, con dos resortes de constante k/2 = 2.0 N/m cada uno.

En este caso, la fuerza neta sobre el deslizador es de:

F = -4.0x (8)

Supongamos que en la posición de equilibrio del deslizador se coloca el sistema de referencia y que inicialmente el deslizador se desplaza a una posición inicial (amplitud) de 0.20 m que llamaremos x0 y se suelta con una velocidad inicial cero que llamaremos v0.

Se tienen casi todas los elementos para desarrollar el método numérico que se inicia con la ecuación (3) de la introducción, pero hay que observar que la fuerza dada por (8) depende de la posición x y por lo tanto la fuerza media que se pide para calcula la velocidad final en (3) no es conocida, ya que no se conoce el valor de la posición media en el primer intervalo de tiempo Dt.

Para resolver este problema, utilizaremos el valor conocido de la fuerza al principio del primer intervalo de tiempo Dt que elegiremos igual a 0.1 s, es decir:

1: F0 = -kx0 = -(4.0 N/m)(0.20 m) = ______________

por lo que la aceleración inicial del movimiento es conocida, al obtenerse a partir de la segunda ley de Newton como:

2: a0 = F0/m = F0/(0.30 kg) = ______________

La velocidad del deslizador, la calcularemos aproximadamente, pero no al final del primer intervalo de tiempo Dt, sino a la mitad de este intervalo, es decir, en Dt/2. Es decir:

3: v1/2 = v0 + (F0/m)(Dt/2) = 0 m + [(-4.0 N/m)/(0.30 kg)](0.1 s/2) = ______________

Hemos perdido exactitud en el cálculo de v1/2, pero el hecho de calcularla esta velocidad a la mitad del intervalo de tiempo nos dará beneficios inmediatos.

Con el valor medio de la velocidad, ya se puede determinar la posición del cuerpo al final del intervalo de tiempo, de la siguiente forma:

4: x1 = x0 + v1/2Dt = 0.20 m + v1/2(0.1 s) = ______________

Ahora lo que falta es determinar la velocidad del cuerpo al final del intervalo de tiempo y para ello es conveniente determinar un valor medio de la fuerza en este intervalo de tiempo.

Como la fuerza depende de la posición, entonces el valor medio entre la posición inicial y la posición final, está dada por:

5: x1/2 = (x0 + x1)/2 = (0.20 m + x1)/2 = ______________

Como no conocemos la dependencia de la fuerza como función del tiempo, pero si como función de la posición, un valor medio de la fuerza respecto del intervalo de posición Dx = x1 - x0 es una aproximación del valor medio de la fuerza en el intervalo de tiempo Dt. Es decir:

6: F1/2 = -kx1/2 = (-4.0 N/m)x1/2 = ______________

Y de esta manera se obtiene un buen candidato de la fuerza media a la mitad del intervalo de tiempo, para determinar la velocidad del cuerpo al final del intervalo de tiempo. Esto es:

7: v1 = v0 + (F1/2/m)Dt = 0 m + (F1/2/0.30 kg)(0.1 s) = ______________

La aceleración del movimiento al final del intervalo de tiempo, requiere de conocer la fuerza al final de este intervalo de tiempo, pero dado que se conoce la posición correspondiente, la fuerza buscada está dada por:

8: F1 = -kx1 = -(4.0 N/m) x1 = ______________

y por lo tanto la aceleración queda determinada por:

9: a1 = F1/m = F1/(0.30 kg) = ______________

Después de estos nueve pasos, tenemos conocidos los valores de la posición, la velocidad, la aceleración y la fuerza al final del primer intervalo de tiempo.

Si queremos determinar los valores correspondientes de posición, velocidad, aceleración y fuerza para el siguiente intervalo de tiempo (igual en tamaño que el anterior, es decir de 0.1 s), sólo es necesario repetir los pasos anteriores, con una ligera variante en el primer paso.

Como para determinar la velocidad media en el siguiente intervalo de tiempo, se necesita la velocidad media en el intervalo de tiempo anterior y la fuerza al final del intervalo de tiempo anterior o al principio del siguiente intervalo de tiempo y ambos valores ya han sido determinados, entonces esta velocidad se calcula de la siguiente manera:

1': v3/2 = v1/2 + (F1/m)Dt = v1/2 + (F1/0.30 kg)(0.1 s) = ______________

La diferencia con el correspondiente paso 3 para el cálculo anterior, es que el intervalo de tiempo Dt ya no es necesario dividirlo entre 2, ya que ahora si se conoce la fuerza a la mitad del intervalo de tiempo correspondiente a estas dos velocidades medias.

Los pasos siguientes, ya son una repetición de los pasos del 4 al nueve y entonces sólo los escribiremos uno detrás del otro, sin mayores comentarios.

2': x2 = x1 + v3/2Dt = x1 + v3/2(0.1 s) = ______________

3': x3/2 = (x1 + x2)/2 = ______________

4': F3/2 = -kx3/2 = -(4.0 N/m)x3/2 = ______________

5': v2 = v1 + (F3/2/m)Dt = v1 + (F3/2/0.30 kg)(0.1 s) = ______________

6': F2 = -kx2 = -(4.0 N/m) x2 = ______________

7': a2 = F2/m = F2/(0.30 kg) = ______________

Después de los siete pasos primados, tenemos conocidos los valores de la posición, la velocidad, la aceleración y la fuerza al final del segundo intervalo de tiempo y si queremos determinar los valores correspondientes de posición, velocidad, aceleración y fuerza para siguientes intervalo de tiempo (igual en tamaño del primero, es decir de 0.1 s), hay que repetir estos siete pasos iterativamente ( repetidamente, pero cambiando los valores finales del intervalo de tiempo anterior a valores iniciales del siguiente intervalo de tiempo),hasta que la condición de la fuerza aplicada cambie.

Periodo de oscilación. De acuerdo con el modelo analítico de solución del OAS, el periodo de este movimiento es:

(9) y numéricamente: = = ______________

de tal manera que se puede determinar las posiciones, las velocidades, las aceleraciones y las fuerzas para un tiempo total del movimiento de un periodo T, en intervalos de tiempo de Dt = 0.1 s.

La siguiente tabla, se puede llenar con los valores correspondientes a estos valores empezando desde las condiciones iniciales y terminando con valores que corresponden aproximadamente a un periodo del movimiento.

Valores iniciales del movimiento.

Tabla 1

t x (m) v (m/s) a (m/s2) F (N) 0 0.30 0

Valores consecutivos del movimiento cada 0.1 s. En la siguiente tabla, las variables que no tienen subíndice significan valores finales, las que tienen subíndice m indican valores medios y se intercalan en la tabla a los anteriores y los números primados corresponden a los pasos del 1' al 7' que se repiten iterativamente.

Tabla 2

1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' t x (m) v (m/s) F (N) a (m(s2) 0.00 vm (m/s) xm (m) Fm (N) 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 5.00 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80

Ejercicios IIIa.

1. Calcular los valores solicitados en las expresiones (1) a (9) para determinar valores finales del movimiento del deslizador después del primer intervalo de tiempo Dt.

2. Calcular los valores solicitados en las expresiones (1') a (7') para determinar valores finales del movimiento del deslizador después del segundo intervalo de tiempo Dt.

3. Llenar la Tabla 1 con los valores iniciales que faltan.

4. Llenar la Tabla 2 con los valores de las variables en el encabezado correspondientes a los tiempos de t = 0.1 s, 0.2 s,...,1.8 s.

Oscilador Armónico y Péndulo simple.

Se muestra que la ecuación de movimiento x = x0 cos (2 t/ T) describe un M.A.S. : cuando t = 0, el oscilador tiene amplitud máxima, para t = T/4, x = 0, el oscilador pasa por el punto de equilibrio, y así sucesivamente; y que esta ecuación es solución de la ecuación diferencial dinámica m dx2/dt2 = - k x , siendo el período T = 2 m/ k y también de la ecuación de la energía: ½ mv 2 + ½ k x 2 = ½ k x o2

Comparar los valores de x (t) de la solución analítica con la solución numérica, obtenida anteriormente así como con la ecuación empírica correspondiente obtenida con osciladores verticales.

1. Ajustar la longitud de un péndulo, de igual masa que el oscilador (aprox. 0.200 kg) para que la lenteja se mueva "al parejo" que el deslizador (ver figura ).

2. Mostrar que ya que ambos osciladores tienen el mismo período y la misma masa (m), también tienen la misma constante (k).

3. Mostrar que al duplicar la masa del péndulo no cambia el período porque automáticamente se duplica el valor de "k".

4. Obtener teóricamente la expresión para la "k" del péndulo, para pequeñas oscilaciones: k = mg/l, y entonces el período T = 2 m/ (mg/l) = 2 l /g.

5. Comparar esta expresión con la obtenida empíricamente  previamente.

III.3b MOVIMIENTO CON FUERZA DEPENDIENTE DE LA VELOCIDAD. VELOCIDAD TERMINAL. (Experimento demostrativo)

META: verificar si el modelo de fuerza, F = -r v, corresponde al frenado magnético y en ese caso determinar el valor de "r" para un deslizador con imanes. Verificar si a su vez "r"es proporcional a la masa del deslizador.

Introducción: Posiblemente sabes que en las paredes entre las que oscila la cuchilla de la balanza hay imanes cuya función es amortiguar la oscilación de la cuchilla; si no lo sabías acerca un clip para que te convenzas.

En el museo tecnológico, en la segunda sección de Chapultepec de la Ciudad de México, quizás hayas visto algo más espectacular:

Una disco de cobre se hace girar rápidamente y cuando se acciona el electroimán a los lados del mismo se produce un frenamiento brusco.

La explicación de este fenómeno corresponde a un futuro curso de electromagnetismo. Lo importante aquí será ver si esta fuerza de frenamiento es proporcional a la velocidad relativa entre los imanes y el material conductor.

Procedimiento sugerido: Con una pequeña inclinación del riel, se le imprime al deslizador una velocidad mayor que su velocidad terminal, con ayuda de un pedazo de elástico colocado transversalmente al riel, que actúa a modo de resortera al presionar el deslizador en contra de él.

Se sigue el movimiento con el sensor a través de los rebotes del deslizador.

Como sabemos, en cada rebote en las ligas que se colocan en extremo del riel, el deslizador disminuye su rapidez además de invertir el sentido de su velocidad. De tal manera que mientras su velocidad sea mayor que la terminal en las bajadas se espera observar una disminución constante de la velocidad (ya que la magnitud de la fuerza de fricción será mayor que la de la componente de la fuerza de gravedad a lo largo del riel).

Sin embargo si después de cierto rebote resulta que la velocidad ya es menor que la terminal entonces se espera que en las bajadas la velocidad vaya aumentando.

Por otra parte durante las subidas siempre esperaremos disminución continua de la velocidad ya que ambas fuerzas (gravedad y fricción) siempre serán opuestas a la velocidad.

Resultará interesante que una vez determinada la velocidad terminal, se busque, controlando el impulso con la resortera, comunicarle inicialmente dicha velocidad y verificar si la mantiene en la bajada.

Fig. III.3.b. Si se le imprime al deslizador una velocidad mayor que la terminal se irá frenando de bajada.

Una vez logrado lo anterior, se trata de duplicar el ángulo de inclinación (o mejor dicho el seno del ángulo) y ver si se duplica el valor de la velocidad terminal. Luego se triplica y se cuadriplica.

Si se verifica la hipótesis de que f = - r v, entonces se puede obtener el mejor valor de "r".

Finalmente habrá que ver si "r" es proporcional al valor de la masa del deslizador.

Para ello se podrá aumentar la masa del deslizador agregándole un bloque de plastilina y ver en que proporción aumenta la velocidad terminal para un cierto ángulo.

Equipo y material: Riel de aire largo, deslizador con imanes, "resortera de elástico", sensor de movimiento, interface y computadora.

III.3.c EL OSCILADOR AMORTIGUADO. F(x, v)

META: Emplear la ley de la fuerza obtenida en el experimento anterior y el método numérico para predecir la vida media del oscilador amortiguado y confrontar con el experimento.

Procedimiento sugerido:

a. Con dos osciladores en sendos rieles de aire, con sistemas de resorte de igual constante y con deslizadores de igual masa: uno con imanes y el otro con plastilina para igualar la masa, mostrar que el período del "ligeramente amortiguado" es prácticamente igual que el del no amortiguado.

b. A partir del método numérico y utilizando el valor de "r" obtenido previamente, predecir el tiempo, o el número de oscilaciones para que la amplitud inicial del oscilador amortiguado se reduzca a la mitad (vida media) y confrontar este valor con el experimento.

Fig. III.3.c La interacción que se crea entre el riel y el deslizador debido a los imanes en las faldas del deslizador es de fricción dependiente de la velocidad. I

II.3.d OSCILADOR AMORTIGUADO CON FRICCIÓN "seca".

META: Para una constante de los resortes, un valor de la masa y un valor de la fricción, utilizar el método numérico para predecir la vida media del oscilador amortiguado y confrontar con el experimento.

Procedimiento sugerido: para poder controlar el valor de la masa y la fricción de manera independiente se recomienda usar un carro de baja fricción (tipo PSSC) unido a un bloque de madera que se desliza sobre la mesa.

III.3.e CAÍDA VERTICAL CON RESISTENCIA DEL AIRE: F (mg, v).

META: Obtener empíricamente la ley de la fuerza para la caída vertical de "paquetes" de filtros de café.

Procedimiento sugerido: para determinar la relación de proporcionalidad de la resistencia del aire con el cuadrado de la velocidad en la caída de "paquetes" de filtros de café, mediante la medición de la velocidad terminal de uno, dos, tres, cuatro y taL cinco filtros de café anidados.

El análisis gráfico de las velocidades terminales versus los pesos de los "paquetes" de los filtros de café con un cambio de variable apropiado, dan como resultado el coeficiente de proporcionalidad entre la fuerza de resistencia del aire y el cuadrado de la velocidad de caída.

III.4 DINÁMICA DE MOVIMIENTOS EN EL PLANO.

META: Analizar gráficamente la magnitud y dirección de la fuerzas y usando la segunda ley y el método numérico predecir el itinerario de objetos que se mueven en un plano. Análisis gráfico de fotos estroboscópicas (retomar las analizadas cinemáticamente). Inferir el valor de la tensión del hilo en el caso del péndulo. Confrontar estos valores de la tensión con los que se obtienen experimentalmente, colgando el péndulo a un sensor de fuerza. Jugar con la simulación, en página web, del péndulo de resorte y considerar el caso cuando la constante del resorte tiende a "infinito", que corresponde al hilo "inextensible" del péndulo. Análisis gráfico de simulaciones: inferir la ley de la fuerza (inverso del cuadrado) a partir de las posiciones a tiempos iguales de un satélite que describiera una órbita elíptica con suficiente excentricidad o un cometa alrededor del Sol.

III.4.a MOVIMIENTO DE DISCOS SOBRE UNA MESA INCLINADA CON FRICCIÓN SECA.

META: Analizar cualitativamente las fuerzas que se ejercen sobre un disco que se mueve en una trayectoria curva en un plano inclinado, para proponer un modelo que pueda ser resuelto mediante un método numérico que prediga la trayectoria que posteriormente se determinado mediante la grabación en video del movimiento. Análisis del movimiento de un disco que se coloca en lo alto de una mesa inclinada casi a punto de resbalar y que con un empellón paralelo al borde horizontal y superior de la mesa se mueve lateralmente y hacia abajo en una trayectoria curva que tiende a ser rectilínea hacia abajo del plano de la mesa.

El análisis cualitativo del movimiento, da indicaciones de cómo la fricción seca y la componente del peso del disco en dirección hacia abajo del plano de la mesa determinan una fuerza resultante que junto a las condiciones iniciales gobiernan la dinámica del movimiento del disco. En la predicción de la trayectoria que seguirá el disco, es ideal utilizar el método numérico para la solución de la segunda Ley de Newton y compararla con los datos experimentales que se pueden obtener mediante la grabación de un video.

III.5. MARCOS DE REFERENCIA INERCIALES Y NO-INERCIALES. Experimentos demostrativos.

META: Describir cinemática y dinámicamente, un movimiento desde diferentes sistemas inerciales y en sistemas acelerados.

El sistema de laboratorio puede considerarse un MRI, al igual que el marco de referencia fijo al CM cuando no hay fuerza externa. Con un voluntario (a) que se siente sobre la plataforma giratoria, se puede ilustrar el significado de las fuerzas ficticias (centrífuga y de coriolis) así como el principio del péndulo de focault. También es muy recomendable ver la película marcos de referencia del PSSC.