Área de Lógica Matemática.


Dentro del área de Lógica Matemática, una primera línea de investigación ha sido la relación entre Compacidad y Completud en lógica de primer orden con igualdad: hay una prueba clásica sintáctica del Teorema de Completud Extendido de Gödel ( Hay un sistema formal S tal que para cualquier conjunto de enunciados M y cualquier enunciado A: A es concecuencia lógica de M si y sólo si A se deduce formalmente de M, en el sistema S ). El Teorema de Compacidad ( para cualquier conjunto de enunciados M: M tiene un modelo si y sólo si todo subconjunto finito de M tiene un modelo ) se puede obtener como un corolario directo del Teorema de Completud Extendido.

Por otro lado, hay una prueba de tipo semántico del Teorema de Compacidad y con éste, una prueba semántica del Teorema de Herbrand. El objetivo es dar una prueba de tipo semántico del Teorema de Completud Extendido como corolario directo del Teorema de Compacidad, el teorema de Herbrand y otros resultados semánticos sobre Skolemización; este es un problema abierto.

Este objetivo se ha logrado parcialmente a partir de un resultado de Malitz para el Teorema de Completud Restringido [1]. Los resultados parciales se han plasmado en el capítulo tres del libro [2]. Sin embargo la prueba final para obtener el Teorema de Completud Extendido como corolario del Teorema de Compacidad, requiere desarrollar aún más profundamente los procesos de Skolemización, usando únicamente nociones semánticas sin apelar a desarrollos sintácticos en el sistema axiomático que se proponga.

Otra línea de investigación ha sido el desarollo de la lógica de los conectivos conocida como lógica proposicional o lógica de enunciados, dentro de cualquier lenguaje de primer orden con igualdad. Esto no está hecho en ningún texto clásico, pues en ellos se trabaja con dos lenguajes distintos: primero el proposicional (de lógica de conectivos) y luego el de primer orden (con igualdad) o de lógica de predicados (con igualdad), sin que sea claro por qué el primero esta contenido en el segundo, ni otras relaciones entre ellos.

En nuestro desarrollo el orden de presentación es al revés pero dentro de un mismo lenguaje con lo cual se precisa el hecho de que la lógica proposicional este contenida en la de predicados y se puede dar una distinción precisa y objetiva entre tautologías y universalmente válidas: las tautologías son universalmente válidas cuya verdad depende únicamente de los conectivos y en las universalmente válidas no-tautologías, su verdad depende de los cuantificadores y de la igualdad, además de los conectivos. Esto se ha desarrollado en [3].


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Última modificación:
27 de marzo del 2004.
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